Question

如下圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若BC=a,∠ABC=θ,設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形的面積為S₂.

(1)用a、θ表示S₁和S₂；

(2)當(dāng)a固定，θ變化時(shí)，求取最小值時(shí)的角θ.

Answer 1

解：(1)∵AC=asinθ,AB=acosθ,∴S₁=a²sinθcosθ=a²sin2θ.

    設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,則BQ=xcotθ,RC=xtanθ,∴xcotθ+x+xtanθ=a,

x=.

∴S₂=()²=.

(2)當(dāng)a固定，θ變化時(shí)，

=

=(+sin2θ+4).

    令sin2θ=t,則=(t++4).

∵0＜θ＜,∴0＜t≤1.

    令f(t)=t+,任取t₁、t₂∈(0,1)，且t₁＜t₂,

f(t₁)-f(t₂)=t₁-t₂+-

=(t₁-t₂)-

=(t₁-t₂)().

∵t₁-t₂＜0,0＜t₁t₂＜1,t₁t₂-4＜0,

∴f(t₁)-f(t₂)＞0.

∴f(t)=t+在(0,1)上是減函數(shù).

∴t=1時(shí)，取最小值，此時(shí)θ=.