【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnxx2﹣ax+1.
(1)設(shè)g(x)=f′(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,求證:x1+x2>2.
【答案】(1)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞);(2)見解析
【解析】
(1)先得到解析式,然后對(duì)求導(dǎo),分別解和,得到其單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間;(2)由題可知x1,x2是g(x)的兩零點(diǎn),要證x1+x2>2,只需證x2>2﹣x1>1,只需證g(2﹣x1)>g(x2)=0,設(shè)h(x)=ln(2﹣x)﹣lnx+2x﹣2,利用導(dǎo)數(shù)證明在(0,1)上單調(diào)遞減,從而證明,即g(2﹣x1)>g(x2),從而證明x1+x2>2.
(1)∵f(x)=xlnxx2﹣ax+1,
∴g(x)=f'(x)=lnx﹣x+1﹣a(x>0),
∴g'(x)
令g'(x)=0,則x=1,
∴當(dāng)x>1時(shí),g'(x)<0;當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)>0,
∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞);
(2)∵f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,
∴x1,x2是g(x)的兩零點(diǎn),
則g(x1)=g(x2)=0,
不妨設(shè)0<x1<1<x2,
∴由g(x1)=0可得a=lnx1﹣x1+1,
∵g(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),
∴要證x1+x2>2,只需證x2>2﹣x1>1,
只需證g(2﹣x1)>g(x2)=0,
∵g(2﹣x1)=ln(2﹣x1)﹣2+x1+1﹣(lnx1﹣x1+1)=ln(2﹣x1)﹣lnx1+2x1﹣2,
令h(x)=ln(2﹣x)﹣lnx+2x﹣2(0<x<1),
則,
∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
∴h(x)>h(1)=0,g(2﹣x1)>0成立,
即g(2﹣x1)>g(x2)
∴x1+x2>2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,直線相交于點(diǎn),且它們的斜率之積是.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)直線與曲線相交于兩點(diǎn),若是否存在實(shí)數(shù),使得的面積為?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)其中P,M是非空數(shù)集.記f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}.
(Ⅰ)若P=[0,3],M=(﹣∞,﹣1),求f(P)∪f(M);
(Ⅱ)若P∩M=,且f(x)是定義在R上的增函數(shù),求集合P,M;
(Ⅲ)判斷命題“若P∪M≠R,則f(P)∪f(M)≠R”的真假,并加以證明.
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【題目】已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,數(shù)列滿足,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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【題目】臍橙營養(yǎng)豐富,含有人體所必需的各類營養(yǎng)成份,若規(guī)定單個(gè)臍橙重量(單位:千克)在[0.1,0.3)的臍橙是“普通果”,重量在[0.3,0.5)的磨橙是“精品果”,重量在[0.5,0.7]的臍橙是“特級(jí)果”,有一果農(nóng)今年種植臍橙,大獲豐收為了了解臍橙的品質(zhì),隨機(jī)摘取100個(gè)臍橙進(jìn)行檢測,其重量分別在[0.1,0.2),[0.2,0.3),[0.3,0.4),[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7]中,經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如圖所示頻率分布直方圖
(1)將頻率視為概率,用樣本估計(jì)總體.現(xiàn)有一名消費(fèi)者從臍橙果園中,隨機(jī)摘取5個(gè)臍橙,求恰有3個(gè)是“精品果”的概率.
(2)現(xiàn)從摘取的100個(gè)臍橙中,采用分層抽樣的方式從重量為[0.4,0.5),[0.5,0.6)的臍橙中隨機(jī)抽取10個(gè),再從這10個(gè)抽取3個(gè),記隨機(jī)變量X表示重量在[0.5,0.6)內(nèi)的臍橙個(gè)數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(2)設(shè),若關(guān)于的不等式在上有解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】條形碼是將寬度不等的多個(gè)黑條和空白,按照一定的編碼規(guī)則排列,用以表達(dá)一組信息的圖形標(biāo)識(shí)符。常見的條形碼是“”通用代碼,它是由從左到右排列的13個(gè)數(shù)字(用表示)組成,其中是校驗(yàn)碼,用來校驗(yàn)前12個(gè)數(shù)字代碼的正確性.下面的框圖是計(jì)算第13位校驗(yàn)碼的程序框圖,框圖中符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)(例如).現(xiàn)有一條形碼如圖(1)所示,其中第6個(gè)數(shù)被污損, 那么這個(gè)被污損數(shù)字是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2x-1,(a∈R),若對(duì)任意x1∈[1,+∞),總存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A. B. C. D.
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【題目】為回饋顧客,新華都購物商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)500位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球(球的大小、形狀一模一樣),球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.
(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為40元,其余3個(gè)所標(biāo)的面值均為20元,求顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)商場對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是30000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球由標(biāo)有面值為20元和40元的兩種球共同組成,或標(biāo)有面值為15元和45元的兩種球共同組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡.請對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說明理由.
提示:袋中的4個(gè)球由標(biāo)有面值為a元和b元的兩種球共同組成,即袋中的4個(gè)球所標(biāo)的面值“既有a元又有b元”.
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