Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）的圖象在點（1，f（1））處與直線y=2相切．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率，切點在切線上，列方程解．
（2）導(dǎo)函數(shù)大于0對應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0對應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-3a，（3分）
∵曲線在點（1，f（1））處與直線y=2相切，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

3-3a=0 1-3a+b=2

，（5分）
解得

a=1 b=4

．（7分）
（2）∵f'（x）=3x²-3．（8分）
由f'（x）＞0，解得x＞1或x＜-1．（11分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），（-∞，-1）；單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）．（14分）

點評：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．