Question

有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A、B、C三處，且AB=AC=a，BC=2b，今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處（建立坐標系如圖）．

（1）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點P應(yīng)位于何處？

（2）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，點P應(yīng)位于何處？

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力． （1）解：由題設(shè)可知，a>b>0，記，設(shè)P的坐標為(0，y)，則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為，所以，當時，函數(shù)f(y)取得最小值． 答：點P的坐標是． （2）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為，由 解得，記，于是，當，即h³b時，在上是增函數(shù)，而|h-y|在上是減函數(shù)，由此可知當y=y*時，函數(shù)g(y)取得最小值，當，即h<b時，函數(shù) 在上，當y=0，取得最小值b，而|h-y|在上為減函數(shù)，且|h-y|>b，可見，當y=0時，函數(shù)g(y)取得最小值，答當h³b時，點P的坐標為；當h<b時，點P的坐標為(0，0)，其中 解法二：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為 由解得，記，于是 當y*³0，即h³b時，z=g(y)的圖像如圖(a)，因此，當y=y*時，函數(shù)g(y)取得得小值． 當y<y*，即h<b時，z=g(y)的圖像如圖(b)，因此，當y=0時，函數(shù)g(y)取得得小值． 答：當h³b時，點P的坐標為；當h<b時，點P的坐標為(0，0)，其中． 解法三：因為在DABC中，AB=AC=a，所以DABC的外心M在射線AO上，其中坐標為，且AM=BM=CM．當P在射線MA上，記P為P1；當P在射線MA的反向延長線上，記P為P2，若（如圖1），則點M在線段AO上，這時P到A、B、C三點的最遠距離為P1C和P2A，且P1C³MC，P2A³MA，所以點P與外心M重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最�。� 若（如圖2），則點M在線段AO外，這時P到A、B、C三點的最遠距離為P1C或P2A，且P1C³OC，P2A³OC，所以點P與BC邊中心O重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最小為b． 答：當時，點P的位置在DABC的外心；當時，點P的位置在原點O．