Question

設函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R）是奇函數．
（1）求實數k的值；
（2）若f（1）=，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∝）上的最小值為-2，求實數m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據f（x）是奇函數，得出f（0）=0，進而求出k的值．
（2）先通過f（1）=求出a的值．令t=f（x）=2^x-2^-x，轉換成關于t的二次函數．對稱軸為t=m．又因為t=f（x）=2^x-2^-x≤，就要看g（x）取最小值時t能否取到m．
解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，
∴f（0）=0
∴k-1=0，
∴k=1
（2）∵f（1）=，
∴a-=，
即2a²-3a-2=0
∴a=2或a=-（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x
∵x≥1
∴t≥f（1）=
∴g（x）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²
當m≥時，當t=m時，g（x）_min=2-m²=-2
∴m=2
當m＜時，當t=時，g（x）_min=-3m=-2
m=＞，舍去
∴m=2
點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用．此類題常與函數的對稱性、單調性、周期性一塊考查．