Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個頂點(diǎn)在直線x+2y-4=0上，F(xiàn)₁是橢圓的左焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的一個動點(diǎn)，求線段PF₁的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）若直線l：y=x+m與橢圓交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，求△ABO面積S的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0）．由兩個頂點(diǎn)在直線x+2y-4=0上，故分別令x=0，y=0，可得a，b．
（2）由（1）可得：，．設(shè)線段PF₁的中點(diǎn)M（x，y），則P（，2y）．由點(diǎn)P是橢圓上的一個動點(diǎn)，代入橢圓方程即可．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由題意可得△＞0，及根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到|AB|=．再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)O到直線l的距離d=．即可得到S_△OAB==，兩邊平方，再利用基本不等式即可得出其最大值，進(jìn)而得到直線l的方程．
解答：解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0）．
∵兩個頂點(diǎn)在直線x+2y-4=0上，∴分別令x=0，可得b=y=2；令y=0，可得a=x=4．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）可得：．
∴．
設(shè)線段PF₁的中點(diǎn)M（x，y），則P（，2y）．
∵點(diǎn)P是橢圓上的一個動點(diǎn)，∴．
化為．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立，消去y得到5x²-8mx+4m²-16=0．
∵直線l：y=x+m與橢圓交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，∴△＞0，即m²＜20．（*）
∴，．
∴|AB|===．
又點(diǎn)O到直線l的距離d=．
∴S_△OAB==，
∴=80，當(dāng)且僅當(dāng)m²=10時取等號，滿足（*）．
∴．
∴△ABO面積S的最大值為．
此時直線l的方程為．
點(diǎn)評：本題中考查了橢圓的方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．