Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；在極坐標(biāo)系中（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸），拋物線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=sinθ．
（1）將拋物線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（2）若直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）拋物線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=sinθ，即ρ²cos²θ=ρsinθ，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入拋物線方程可得：t²+$\sqrt{2}$t-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）拋物線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=sinθ，
即ρ²cos²θ=ρsinθ，
化為直角坐標(biāo)方程：x²=y．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入拋物線方程可得：t²+$\sqrt{2}$t-2=0，
∴t₁+t₂=-$\sqrt{2}$，t₁t₂=-2．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\sqrt{2}）^{2}-4×（-2）}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線相交弦長問題、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．