Question

8．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=|n-13|，那么滿足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的正整數(shù)k=2或5．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的求和公式，可得{a_n}的前n項(xiàng)和S_n關(guān)于n的分段表達(dá)式．已知等式可化為a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整數(shù)，通過(guò)討論k-1與13的大小，分別得到關(guān)于k的方程，解之即得滿足條件的正整數(shù)k值

解答 解：∵a_n=|n-13|，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{13-n，n≤13}\\{n-13，n＞13}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)n≤13時(shí)，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{25n-{n}^{2}}{2}$，
當(dāng)n＞13時(shí)，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{2}$（n²-25n+312），
滿足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102，即a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整數(shù)，
而S_k+19=$\frac{1}{2}$[（k+19）²-25（k+19）+312]=$\frac{1}{2}$（k²+13k+198），
①當(dāng)k-1≤13時(shí)，S_k-1=-$\frac{1}{2}$k²+$\frac{27}{2}$k-13，
所以S_k+19-S_k-1=$\frac{1}{2}$（k²+13k+198）-（-$\frac{1}{2}$k²+$\frac{27}{2}$k-13）=102，解之得k=2或k=5；
②當(dāng)k-1＞13時(shí)，S_k-1=$\frac{1}{2}$[（k+19）²-25（k+19）+312]=$\frac{1}{2}$（k²-27k+338），
所以S_k+19-S_k-1=$\frac{1}{2}$（k²+13k+198）-$\frac{1}{2}$（k²-27k+338）=102，
解之得k不是整數(shù)，舍去
綜上所述，滿足條件的k=2或5．
故答案為：2或5．

點(diǎn)評(píng) 本題給出一個(gè)與等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)列，叫我們找出滿足已知等式的最小正整數(shù)k，著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．