Question

（本小題滿分13分）

給定橢圓，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到距離為．

（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；

（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓C只有一個公共點(diǎn)，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，求的值；

（Ⅲ）過橢圓C“伴橢圓”上一動點(diǎn)Q作直線，使得與橢圓C都只有一個公共點(diǎn)，試判斷直線的斜率之積是否為定值,并說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由題意得：，半焦距       

則橢圓C方程為                       

“伴隨圓”方程為                              ……………3分

（Ⅱ）則設(shè)過點(diǎn)且與橢圓有一個交點(diǎn)的直線為：，         

則整理得

所以，解①    ……………5分

又因為直線截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為，

則有化簡得   ②      ……………7分

聯(lián)立①②解得，，

所以，，則                   ……………8分

（Ⅲ）當(dāng)都有斜率時，設(shè)點(diǎn)其中，

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為，

由，消去得到  ……………9分

即， ，

經(jīng)過化簡得到：，               ……………11分

因為，所以有，

設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點(diǎn)，

所以滿足方程，

因而，即直線的斜率之積是為定值           ……………13分

 

【解析】略