Question

（2014•江門模擬）如圖，橢圓Γ的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，過(guò)右焦點(diǎn)F（1，0）且垂直于橢圓對(duì)稱軸的弦MN的長(zhǎng)為3．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O交橢圓Γ于P、Q兩點(diǎn)，NP=NQ，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓Γ的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用過(guò)右焦點(diǎn)F（1，0）且垂直于橢圓對(duì)稱軸的弦MN的長(zhǎng)為3．可得

c=1 2b2 a =3 a2=b2+c2

解得a，b，c即可；
（2）連接ON，由橢圓的對(duì)稱性O(shè)P=OQ，又NP=NQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可得ON⊥PQ，計(jì)算出點(diǎn)N的坐標(biāo)，可得k_ON，再利用k_l•k_ON=-1即可得出k_l．

解答：解：（1）設(shè)橢圓Γ的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵過(guò)右焦點(diǎn)F（1，0）且垂直于橢圓對(duì)稱軸的弦MN的長(zhǎng)為3．
∴

c=1 2b2 a =3 a2=b2+c2

解得a=2，b=

3

，c=1．
∴橢圓Γ的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）連接ON，由橢圓的對(duì)稱性O(shè)P=OQ，
∵NP=NQ，∴ON⊥PQ，
∵

b2

a

=

3

2

，∴N(1，-

3

2

)，
∴kON=-

3

2

，kl=-

1

kON

=

2

3

，
∴直線l的方程為y=

2

3

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．