Question

求證：

1

2

+cosα+cos2α+cos3α+…+cosnα=

cosnα-cos(n+1)α

2(1-cosα)

．n∈N．

Answer 1

分析：觀察等式的特征，直接利用三角函數(shù)的恒等變換，不易解答，可以考慮數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：證明：（1）當(dāng)n=0時(shí)等式成立；
          當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

1

2

+cosα，右邊=

cosα-cos2α

2(1-cosα)

=

(1-cosα)(1+2cosα)

2(1-cosα)

=

1

2

+cosα，即左邊=右邊；
     （2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即

1

2

+cosα+cos2α+cos3α+…+coskα=

coskα-cos(k+1)α

2(1-cosα)

成立；
          那么n=k+1時(shí)

1

2

+cosα+cos2α+cos3α+…+coskα+cos(k+1)α=

coskα-cos(k+1)α

2(1-cosα)

+cos(k+1)α
=

coskα-cos(k+1)α+2cos(k+1)α-2cosαcos(k+1)α

2(1-cosα)

=

coskα+cos(k+1)α-2cosαcos(k+1)α

2(1-cosα)

=

coskα+cos(k+1)α-cos(k+2)α-coskα

2(1-cosα)

=

cos(k+1)α-cos[(k+1)+1]α

2(1-cosα)

，
      這就是說(shuō)n=k+1時(shí)命題也成立；
      對(duì)于任意的n等式恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法證明三角恒等式的問(wèn)題，注意這是關(guān)于n∈N的命題，證明中必須用上假設(shè)，考查計(jì)算能力，靈活證明問(wèn)題的靈活性．