Question

如圖，點P(0，－1)是橢圓C1：＝1(a>b>0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2＋y2＝4的直徑．l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D.

(1)求橢圓C1的方程；

(2)求當△ABD的面積取最大值時，直線l1的方程．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1.（2）y＝±x－1

【解析】(1)由題意得，所以橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．

由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，

則直線l1的方程為y＝kx－1.又圓C2：x2＋y2＝4，

故點O到直線l1的距離d＝，

所以|AB|＝2＝2.

又l2⊥l1，故直線l2的方程為x＋ky＋k＝0.由

消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－.所以|PD|＝.

設(shè)△ABD的面積為S，則S＝·|AB|·|PD|＝，

所以S＝≤＝，

當且僅當k＝±時取等號．

所以所求直線l1的方程為y＝±x－1.