Question

下面四個(gè)命題：①命題“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；
③函數(shù)f（x）=ax²-lnx的圖象在x=1處的切線平行于直線y=x，則（

2

2

，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
④正方體的內(nèi)切球與其外接球的表面積之比為1：3；
其中所有正確命題的序號(hào)為

①③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)含有量詞的命題的否定的方法，得到①正確；根據(jù)函數(shù)圖象平移的規(guī)律，得到②錯(cuò)誤；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，得到③正確；根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合球的表面積公式，得到④正確．

解答：解：對(duì)于①，它是一個(gè)含有量詞的命題
“?x∈R，x²-x＞0”即“存在x∈R，使得x²-x＞0成立”，其否定應(yīng)該是不存在滿(mǎn)足條件的x．
也就是說(shuō)，對(duì)于任意的x∈R，都有x²-x≤0，即“?x∈R，x²-x≤0”，故①正確；
對(duì)于②，設(shè)F（x）=3sin（2x+

π

3

），圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，應(yīng)該得到F（x-

π

3

）=3sin（2x-

π

3

），
而不是y=3sin2x的圖象，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若函數(shù)f（x）=ax²-lnx的圖象在x=1處的切線平行于直線y=x，
說(shuō)明f′（1）=1，而f/(x)=2ax-

1

x

所以2a-1=1，得a=1，函數(shù)表達(dá)式為f（x）=x²-lnx
∴f/(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，當(dāng)x∈（

2

2

，+∞），f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，故③正確；
對(duì)于④，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球半徑為

a

2

，表面積為4π•(

a

2

)2=4πa²，
而正方體的外接球半徑為

3

2

a，可得外接球的表面積為4π•(

3 a

2

)2=12πa²
∴內(nèi)切球與其外接球的表面積之比為1：3，故④正確
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題綜合了含有量詞的命題的否定、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和球的內(nèi)接外切等知識(shí)點(diǎn)，考查了命題真假的判斷，屬于中檔題．