【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在上的最小值;
(2)若直線是函數(shù)的切線方程,求實(shí)數(shù)的值;
(3)若,證明:對(duì)任意實(shí)數(shù),恒成立.
【答案】(1)0(2)(3)見解析
【解析】
(1)求出函數(shù)的到函數(shù),可得的單調(diào)性,從而得出其最小值.
(2) 設(shè)切點(diǎn)為,由直線是函數(shù)的切線方程,則,即,又,即,即得,即求出函數(shù)的零點(diǎn)即可.
(3) 因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),,設(shè),可得恒成立,且,則時(shí),,即,即,同理可得,從而可證.
解:(1)由于,則,從而在單調(diào)遞增,從而.
(2),由題可知,設(shè)切點(diǎn)為,
則由,整理得.
當(dāng)時(shí),不可能;當(dāng)時(shí),得①.
又,即②.
由①②可得,.
令,則,注意到.
令,則,注意到.
令,則恒成立.
可得時(shí),,時(shí),,所以恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,可知是方程的唯一解.
所以切點(diǎn)為,.
(3)因?yàn)?/span>,
所以當(dāng)時(shí),③,
所以當(dāng)時(shí),④,
令,則.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以恒成立,且.
設(shè),則.
此時(shí),即,結(jié)合③,得,
即,得到,成立
,即,結(jié)合④,得,
即,得到,
所以,成立,
所以成立,得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)袋子中有紅、黃、藍(lán)、綠四個(gè)小球,有放回地從中任取一個(gè)小球,將“三次抽取后,紅色小球,黃色小球都取到”記為事件M,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)事件M發(fā)生的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生整數(shù)0,1,2,3四個(gè)隨機(jī)數(shù),分別代表紅、黃、藍(lán)、綠四個(gè)小球,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示取小球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù):
110 | 321 | 230 | 023 | 123 | 021 | 132 | 220 | 001 |
231 | 130 | 133 | 231 | 031 | 320 | 122 | 103 | 233 |
由此可以估計(jì)事件M發(fā)生的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).
(1) 證明:PB∥平面AEC
(2) 設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)準(zhǔn)備將8本相同的書全部分配給5個(gè)不同的班級(jí),其中甲、乙兩個(gè)班級(jí)每個(gè)班級(jí)至少2本,其它班級(jí)允許1本也沒有,則不同的分配方案共有( )
A.60種B.70種C.82種D.92種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足,,若,則下列判斷正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),數(shù)列是有窮數(shù)列B.當(dāng)時(shí),數(shù)列是有窮數(shù)列
C.當(dāng)數(shù)列是無窮數(shù)列時(shí),數(shù)列單調(diào)D.當(dāng)數(shù)列單調(diào)時(shí),數(shù)列是無窮數(shù)列
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義為個(gè)正數(shù)、、、的“均倒數(shù)”.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)一切恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)令,問:是否存在正整數(shù)使得對(duì)一切恒成立,如存在,求出值,否則說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為的正方形中,、分別為,邊上的中點(diǎn),現(xiàn)將點(diǎn)以為軸旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置,使得為直二面角.
(1)證明:;
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綠色已成為當(dāng)今世界主題,綠色動(dòng)力已成為時(shí)代的驅(qū)動(dòng)力,綠色能源是未來新能源行業(yè)的主導(dǎo).某汽車公司順應(yīng)時(shí)代潮流,最新研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程(理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程)的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù),可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布,經(jīng)計(jì)算第(1)問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50.用樣本平均數(shù)作為的近似值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值;
(。┈F(xiàn)從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中任取一輛汽車,求它的單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的概率;
(ⅱ)從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中隨機(jī)抽取10輛,設(shè)這10輛汽車中單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的數(shù)量為,求;
(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎(jiǎng)”活動(dòng),客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn),若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”,則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遙控車開始在第0格,客戶每擲一次硬幣,遙控車向前移動(dòng)一次,若擲出正面,遙控車向前移動(dòng)一格(從到),若擲出反面,遙控車向前移動(dòng)兩格(從到),直到遙控車移到第49格(勝利大本營(yíng))或第50格(失敗大本營(yíng))時(shí),游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第格的概率為,其中,試說明是等比數(shù)列,并解釋此方案能否成功吸引顧客購(gòu)買該款新能源汽車.
參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),為的導(dǎo)函數(shù),且.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在處的切線經(jīng)過點(diǎn),求函數(shù)的極值;
(3)若關(guān)于的不等式對(duì)于任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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