Question

已知拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F，過F任作直線l（l與x軸不平行）交拋物線分別于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為C，
（1）求證：直線BC與y軸交點(diǎn)D必為定點(diǎn)；
（2）過A，B分別作拋物線的切線，兩條切線交于E，求

|AB|

|DE|

的最小值，并求當(dāng)

|AB|

|DE|

取最小值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到兩個(gè)交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的和與積，由對稱性得到A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C，寫出直線BC的方程后由線系方程可證過定點(diǎn)；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，寫出過A，B的切線方程，把兩切線方程分別作差和作和后求出兩切線焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則|DE|可求，由弦長公式求出|AB|，作比后利用基本不等式求最值，并求出

|AB|

|DE|

取最小值時(shí)直線l的方程．

解答：（1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵拋物線y=

x2

4

的焦點(diǎn)為F（0，1），
∴可設(shè)直線l的方程為：y=kx+1（k≠0）．
聯(lián)立

y=kx+1 y= x2 4

，消去y并整理得：x²-4kx-4=0
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
由對稱性知C（-x₁，y₁），kCB=

y2-y1

x2+x1

=

x22-x12

4(x2+x1)

=

x2-x1

4

直線BC的方程為y-

x22

4

=

x2-x1

4

(x-x2)，即y=

x2-x1

4

x+

x1x2

4

=

x2-x1

4

x-1
∴直線BC與y軸交于定點(diǎn)D（0，-1）
（2）f′(x)=

x

2

，∴過點(diǎn)A的切線方程為：y-

x12

4

=

x1

2

(x-x1)
即：y=

x1

2

x-

x12

4

①，同理可得過點(diǎn)B的切線方程為：
y=

x2

2

x-

x22

4

②
①-②得：

1

2

(x1-x2)x-

1

4

(x12-x22)=0（x₁≠x₂）
∴x=

x1+x2

2

=2k
①+②得：2y=

x1+x2

2

x-

x12+x22

4

=

x1+x2

2

x-

x12+x22

4

=

x1+x2

2

x-

(x1+x2)2-2x1x2

4

=4k2-

16k2+8

4

=-2．
∴y=-1．
∴E（2k，-1），|DE|=2|k|
|AB|=

k2+1

|x1-x2|=

k2+1

(x1+x2)2-4x1x2

=4(k2+1)
∴

|AB|

|DE|

=

4(k2+1)

2|k|

=2(|k|+

1

|k|

)≥4，取等號(hào)時(shí)，k=±1，
直線l的方程為：y=x+1或y=-x+1．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，考查拋物線的應(yīng)用，關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解．這也是高考常考的知識(shí)點(diǎn)，該題是難題．