Question

11．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）若四邊形CAA₁C₁和BAA₁B₁都是正方形，求多面體CA₁C₁BD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC₁，設(shè)AC₁∩A₁C=E，連結(jié)DE，則E是AC₁的中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得DE∥BC₁，再由線面平行的判定可得BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）由已知可得A₁A⊥AC，A₁A⊥AB，再由線面垂直的判定可得A₁A⊥平面ABC，由多面體CA₁C₁BD的體積$V={V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}-{V_{{A_1}-ACD}}-{V_{B-{A_1}{B_1}{C_1}}}$求得多面體CA₁C₁BD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)AC₁，設(shè)AC₁∩A₁C=E，連結(jié)DE，則E是AC₁的中點(diǎn)，
∵D是AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC₁，
又DE?平面A₁CD，BC?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）解：∵四邊形CAA₁C₁是正方形，∴A₁A⊥AC，
又∵BAA₁B₁都是正方形，∴A₁A⊥AB，
又AC?平面ABC，AB?平面ABC，AB∩AC=A，∴A₁A⊥平面ABC，
∵${S_{△ABC}}={S_{△{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，∴${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴多面體CA₁C₁BD的體積$V={V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}-{V_{{A_1}-ACD}}-{V_{B-{A_1}{B_1}{C_1}}}$
=${S}_{△ABC}•A{A}_{1}-\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•A{A}_{1}-\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}•B{B}_{1}$=$\sqrt{3}×2-\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×2-\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\sqrt{3}$．
∴多面體CA₁C₁BD的體積為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．