Question

（本小題滿分12分）已知線段的端點B在圓上運動，端點的坐標為，線段中點為，

（Ⅰ）試求點的軌跡方程；

（Ⅱ）若圓與曲線交于兩點，試求線段的長．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）代入法適用于條件中有兩個動點，且已知一個動點(主動點)的軌跡而求另一個動點(被動點)軌跡的情況．代入法求軌跡方程的步驟(1)設(shè)點：設(shè)被動點坐標為(x，y)，主動點坐標為(x0，y0)；(2)求關(guān)系式：求出兩個動點坐標之間的關(guān)系式；(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點的軌跡方程．（Ⅱ）只需結(jié)合到圖象即可解決.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則由題意可得：解得：， 2分

∵點B在圓上，∴， 3分

∴，即 5分

∴軌跡方程為 6分

（Ⅱ）由方程組解得直線的方程為 9分

圓的圓心到直線的距離為，圓的半徑為4，

∴線段的長為 12分

考點：軌跡方程、中點坐標公式、點到直線的距離.