Question

在直角坐標(biāo)系中，已知A（cosx，sinx），B=（1，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

+

OB

=

OC

，f（x）=|

OC

|2．
（Ⅰ）求f（x）的對稱中心的坐標(biāo)及其在區(qū)間[-π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x₀）=3+

2

，x₀∈[

π

2

，

3π

4

]，求tanx₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用向量知識，求得f（x）的解析式，再求f（x）的對稱中心的坐標(biāo)及其在區(qū)間[-π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）利用f（x₀）=3+

2

，x₀∈[

π

2

，

3π

4

]，求得x₀的值，再求tanx₀的值．

解答：解：（Ⅰ）∵A（cosx，sinx），B=（1，1），
∴

OA

=（cosx，sinx），

OB

=（1，1），
∴

OC

=

OA

+

OB

=（1+cosx，1+sinx）…（2分）
∴f（x）=|

OC

|2=（1+cosx）²+（1+sinx）²=3+2（sinx+cosx）=3+2

2

sin（x+

π

4

）…（4分）
由x+

π

4

=kπ，k∈Z，即x=kπ-

π

4

，∴對稱中心是（kπ-

π

4

，3），k∈Z
當(dāng)2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，即2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z…（6分）
∴f（x）在區(qū)間[-π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[-π，-

3π

4

]．…（8分）
（Ⅱ）∵f（x₀）=3+2

2

sin（x₀+

π

4

）=3+

2

，
∴sin（x₀+

π

4

）=

1

2

∵x₀∈[

π

2

，

3π

4

]，∴x₀+

π

4

=

5π

6

，∴x₀=

7π

12

∴tanx₀=tan

7π

12

=tan（

π

3

+

π

4

）=-2-

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的學(xué)生，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式，屬于中檔題．