已知a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，求證：（
1
a
-1）（
1
b
-1）（
1
c
-1）≥8．
分析：先將待證不等式的左邊通分后，再利用1=a+b+c進行代換，最后利用基本不等式進行了放縮即得．
解答：證明：∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴（
1
a
-1）（
1
b
-1）（
1
c
-1）=
(1-a)(1-b)(1-c)
abc

=
(b+c)(a+c)(a+b)
abc
≥
2
bc
•2
ac
•2
ab
abc
=8．
當且僅當a=b=c=
1
3
時等號成立．
點評：本題主要考查了不等式的證明、基本不等式的應用，屬于基礎題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c∈（0，+∞），3a-2b+c=0，則
ac
b
的（　�。�
A、最大值是
3
B、最小值是
3
C、最大值是
3
3
D、最小值是
3
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞b＞c＞0，若P=
b-c
a
，Q=
a-c
b
，則（　　）
A、P≥QB、P≤Q
C、P＞QD、P＜Q

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（選做題）已知a，b，c∈（0，+∞），且
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，求a+2b+3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•浦東新區(qū)一模）（1）A、B、C為斜三角形ABC的三個內(nèi)角，tgA+tgB+1=tgAtgB．求角C；
（2）命題：已知A，B，C∈（0，π），若tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，則A+B+C=π．判斷該命題的真假并說明理由．
（說明：試卷中的“tgA”在試點教材中記為“tanA”）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（選修4-5：不等式選講）已知a＞b＞c＞0，求證：a+
3
3(a-b)(b-c)c
≥6（并指出等號成立的條件）

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