Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，離心率為

2

，且過點(diǎn)P(4，-

10

)
（1）求雙曲線的方程；
（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出雙曲線的方程，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得到雙曲線的方程；
（2）利用點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求出m值，進(jìn)而利用S=

1

2

|F₁F₂|•|m|，即可求△F₁MF₂的面積．

解答：解：（1）∵e=

2

，∴可設(shè)雙曲線的方程x²-y²=λ
∵雙曲線過點(diǎn)P（4，-

10

），∴16-10=λ，即λ=6
∴雙曲線的方程x²-y²=6
（2）由（1）知，雙曲線中a=b=

6

∴c=2

3

，∴F1(-2

3

，0)，F2(2

3

，0)
∴|F₁F₂|=4

3

∵點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，∴9-m²=6，∴|m|=

3

∴△F₁MF₂的面積為S=

1

2

|F₁F₂|•|m|=6
即△F₁MF₂的面積為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，確定雙曲線的方程是關(guān)鍵．