Question

直二面角M-AB-N中，AE、BF分別在平面M和N內(nèi)，AE、BF和棱AB的夾角分別是α和β，且AB=a，求證：AE和BF的距離d=

a

1+cot2α+cot2β

．

Answer 1

分析：過A點作BF的平行線AD，則AE和BF的距離d即為B點到平面ACD的距離，令A(yù)C=AD=a，連接BC，BD，CD，利用等積法，可求出d值．

解答：證明：過A點作BF的平行線AD，令A(yù)C=AD=a，連接BC，BD，CD
則AE和BF的距離d即為B點到平面ACD的距離
∵AE、BF和棱AB的夾角分別是α和β，且AB=a，
∴S_△ABD=

1

2

sinβ•a²，
又∵二面角M-AB-N為直二面角，故C到△ABD的距離h=sinα•a
故三棱錐的體積V=

1

3

S_△ABD•h=

1

6

sinαsinβ•a³•a³
由三余弦定理，可得cos∠CAD=cosα•cosβ
故S_△ACD=

1

2

sin∠CAD•a²=

1

2

1-cos2α•cos2β

•a²
故d=

V

1 3 S△ACD

=

1 6 •sinα•sinβ•a3

1 6 1-cos2α•cos2β •a2

=

a

1-cos2α•cos2β sinα•sinβ

=

a

1-cos2α•cos2β sin2α•sin2β

=

a

sin2α•sin2β+sin2α•cos 2β+cos2α•sin2β sin2α•sin2β

=

a

1+cot2α+cot2β

即d=

a

1+cot2α+cot2β

點評：本題考查的知識點是異面直線的距離，其中將異面直線的距離問題，轉(zhuǎn)化為點到平面之間的距離是解答的關(guān)鍵．