Question

5．△ABC中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0，|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}$|=2，M是BC的中點，P點在△ABC內(nèi)部或其邊界上運動，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{CP}$的取值范圍是（　　）

• A． [0，2]
• B． [1，2]
• C． [-2，0]
• D． [-2，-1]

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件建立直角坐標系，以點A為原點，AC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立如圖所示的坐標系，寫出點A，B，C，M的坐標，設(shè)出點P的坐標，根據(jù)點P在三角形ABC內(nèi)部或其邊界上運動，則寫出x，y應(yīng)滿足的條件，求出$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{AM}$根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算求出，利用線性規(guī)劃求得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{CP}$的取值范圍

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0，|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}$|=2，
∴AB⊥AC，
以點A為原點，AC所在直線為x軸，
AB所在直線為y軸建立如圖所示的坐標系，
則A（0，0），B（0，2），C（2，0），設(shè)點P（x，y），
∵M是BC的中點，P點在三角形ABC內(nèi)部或其邊界上運動，
∴M（1，1），$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+y-2≤0}\end{array}\right.$，
$\overrightarrow{CP}$=（x-2，y），$\overrightarrow{AM}$=（1，1），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{CP}$=x-2+y，
由圖形可知當在點A處取最小值-2，在線段BC上的任意一點取最大值0，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{CP}$的取值范圍為[-2，0]．
故選C．

點評 此題是個中檔題．考查向量在幾何中的應(yīng)用，側(cè)重于對向量坐標運算和數(shù)量積、圖解法求線性規(guī)劃問題等基礎(chǔ)知識的考查，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，和熟練應(yīng)用知識分析、解決問題的能力．