Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）上的一動(dòng)點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的最短距離為，且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離等于短半軸的長．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 過點(diǎn)M（0，）的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設(shè)橢圓的焦距為2c，則由題設(shè)得關(guān)于a，b．c的方程，解此方程組得，b=1．最后寫出橢圓C的方程即可；
（Ⅱ）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在點(diǎn)T（u，v）．若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求得點(diǎn)T的坐標(biāo)，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，
則由題設(shè)可知，
解此方程組得，b=1．
所以橢圓C的方程是．…（5分）
（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)T（u，v）．若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，
將它代入橢圓方程，并整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則…（7分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125358165690404/SYS201310251253581656904020_DA/7.png">及，
所以==…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T，
所以解得u=0，v=1．
此時(shí)以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）．…（12分）
當(dāng)直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為x²+y²=1也過點(diǎn)T（0，1）．
綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1），滿足條件．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．