Question

（2010•舟山模擬）將24個(gè)志愿者名額分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少有一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法共有

222

種．

Answer 1

分析：“每校至少有一個(gè)名額的分法”相當(dāng)于在24個(gè)名額之間的23個(gè)空隙中選出2個(gè)空隙插入分割符號(hào)，則有253種方法，再列舉出“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法，進(jìn)而得到滿足題中條件的分配方法．

解答：解：用4條棍子間的空隙代表3個(gè)學(xué)校，而用*表示名額．
如|****|*…*|**|表示第一、二、三個(gè)學(xué)校分別有4，18，2個(gè)名額．
若把每個(gè)“*”與每個(gè)“|”都視為一個(gè)位置，由于左右兩端必須是“|”，故不同的分配方法相當(dāng)于24+2=26個(gè)位置（兩端不在內(nèi)）被2個(gè)“|”占領(lǐng)的一種“占位法”．
“每校至少有一個(gè)名額的分法”相當(dāng)于在24個(gè)“*”之間的23個(gè)空隙中選出2個(gè)空隙插入“|”，故有C₂₃²=253種．
又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有（1，1，22），（2，2，20），（3，3，18），（4，4，16），（5，5，14），
（6，6，12），（7，7，10），（8，8，8），（9，9，6），（10，10，4），（11，11，2）共有10C₃¹+1=31種．
∴每校至少有一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法共有253-31=222種．
故答案為：222．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查排列組合與計(jì)數(shù)原理的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解決此類問題的方法是：特殊元素與特殊位置優(yōu)先的原則，插空法，捆綁法等方法，在解決問題時(shí)有時(shí)也運(yùn)用正難則反的解題得思想方法，本題在計(jì)數(shù)時(shí)采取了排除的技巧，由于所研究的對(duì)象較為復(fù)雜，采取了列舉法，這是較復(fù)雜問題計(jì)數(shù)常用的一種方法．