Question

P是△ABC所在平面外一點，O是點P在平面α上的射影．

(1)若PA＝PB＝PC，則O是△ABC的________心．

(2)若點P到△ABC的三邊的距離相等，則O是△ABC________心．

(3)若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是△ABC________心．

(4)若△ABC是直角三角形，且PA＝PB＝PC則O是△ABC的________心．

(5)若△ABC是等腰三角形，且PA＝PB＝PC，則O是△ABC的________心．

(6)若PA、PB、PC與平面ABC所成的角相等，則O是△ABC的________心；

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)外心．∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心． 　　(2)內心(或旁心)．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連結PD、PE、PF．∵PO⊥平面ABC，∴OD、OE、OF分別為PD、PE、PF在平面ABC內的射影，由三垂線定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD＝PE＝PF，得OD＝OE＝OF，∴O是△ABC的內心．(如下圖) 　　(3)垂心． 　　(4)外心． 　　(5)外心 　　(6)外心．PA與平面ABC所成的角為∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共邊，∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，∠PAO＝∠PBO＝∠PCO，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA＝OB＝OC，∴O為△ABC的外心． 　　(此外心又在等腰三角形的底邊高線上)．