Question

設(shè)f（x）=px--2lnx．
（Ⅰ）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由 f（x）=px--2lnx，
得=．…（3分）
要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，只需f′（x）≥0，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，…（5分）
從而P≥1．…（7分）
（II）解法1：g（x）=在[1，e]上是減函數(shù)，
所以[g（x）]_min=g（e）=2，[g（x）]_max=g（1）=2e，即g（x）∈[2，2e]．
當(dāng)0＜p＜1時(shí)，由x∈[1，e]，得x-，
故，不合題意．…（10分）
當(dāng)P≥1時(shí)，由（I）知f（x）在[1，e]連續(xù)遞增，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
∴原命題等價(jià)于[f（x）]_max＞[g（x）]_min=2，x∈[1，e]，…（12分）
由，解得p＞，
綜上，p的取值范圍是（，+∞）．…（15分）
解法2：原命題等價(jià)于f（x）-g（x）＞0在[1，e）上有解，
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=px--2lnx-，
∵
=，
∴F（x）是增函數(shù)，…（10分）
∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得p＞，
∴p的取值范圍是（，+∞）．…（15分）
分析：（I）由 f（x）=px--2lnx，得=．由px²-2x+p≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，能求出P的范圍．
（II）法1：g（x）=在[1，e]上是減函數(shù)，所以g（x）∈[2，2e]．原命題等價(jià)于[f（x）]_max＞[g（x）]_min=2，x∈[1，e]，由，解得p＞，由此能求出p的取值范圍．
法2：原命題等價(jià)于f（x）-g（x）＞0在[1，e）上有解，設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=px--2lnx-，由
=，知F（x）是增函數(shù)，由[F（x）]max=F（e）＞0，能求出p的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查得用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．