已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求橢圓的方程．
【答案】分析：先設(shè)橢圓方程的標準形式，然后與直線方程聯(lián)立消去y，得到兩根之和、兩根之積的關(guān)系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=可得到兩點坐標的關(guān)系式，然后再與兩根之和、兩根之積的關(guān)系式聯(lián)立可求a，b的值，從而可確定橢圓方程．
解答：解：設(shè)所求橢圓方程為
依題意知，點P、Q的坐標滿足方程組
①②
將②式代入①式，整理得
（a2+b2）x2+2a2x+a2（1-b2）=0，③
設(shè)方程③的兩個根分別為x1，x2，那么直線y=x+1與橢圓的交點為P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）．
由題設(shè)OP⊥OQ，|PQ|=，可得
整理得
④⑤
解這個方程組，得或
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由③式得
（Ⅰ）或（Ⅱ）
解方程組（Ⅰ），（Ⅱ），得或
故所求橢圓的方程為，或
點評：本題主要考查直線與橢圓的綜合題．直線與圓錐曲線的綜合題一般是將兩方程聯(lián)立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出兩根之和、兩根之積，再由題中條件可解題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點，且經(jīng)過點M(1，
2
5
5
)，N(-2，
5
5
)，若圓C的圓心與橢圓的右焦點重合，圓的半徑恰好等于橢圓的短半軸長，已知點A（x，y）為圓C上的一點．
（1）求橢圓的標準方程和圓的標準方程；
（2）求
AC
•
AO
+2|
AC
-
AO
|（O為坐標原點）的取值范圍；
（3）求x2+y2的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓上點P(3
2
，4)到兩焦點的距離之和是12，則橢圓的標準方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，焦距為6
3
，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，坐標原點O到過右焦點F且斜率為1的直線的距離為
2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過右焦點F且與坐標軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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