Question

已知圓，直線
（1）求證：直線恒過定點(diǎn)
（2）判斷直線被圓截得的弦長(zhǎng)何時(shí)最短？并求截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的值及最短長(zhǎng)度。

Answer 1

（1）見解析（2）當(dāng)直線垂直于時(shí)被截得弦長(zhǎng)最短，此時(shí)，最短弦長(zhǎng)為

試題分析：（1）證明：直線的方程，
經(jīng)整理得，                                           ……1分
由的任意性，                                                  ……3分
 恒過定點(diǎn).                                                   ……5分
（2）解：因?yàn)橹本�恒經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于時(shí)被截得弦長(zhǎng)最短.      ……7分
由、，直線斜率，
又直線與直線垂直， 直線的斜率為2，
于是，,                                                    ……9分
最短弦長(zhǎng)為,                                                      ……11分
綜上所述，當(dāng)直線垂直于時(shí)被截得弦長(zhǎng)最短，
此時(shí)，最短弦長(zhǎng)為.                                                   ……12分
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓心到直線的距離、半弦長(zhǎng)和半徑組成一個(gè)直角三角形，這個(gè)直角三角形在解題時(shí)經(jīng)常用到.