Question

若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球表面積之比為

1. A.
   2：1
2. B.
   3：1
3. C.
   4：1
4. D.
   5：1

Answer 1

D
分析：設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，當(dāng)球內(nèi)切于正三棱柱時(shí)，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距，求出正三棱柱的高為2R₁，當(dāng)球外接正三棱柱時(shí)，球心是正三棱柱上下底面中心連線(xiàn)段的中點(diǎn)，且球心與正三棱柱兩個(gè)底面正三角形構(gòu)成兩個(gè)正三棱錐，求出外接球的半徑，即可求出內(nèi)切球與外接球表面積之比．
解答：設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，
當(dāng)球內(nèi)切于正三棱柱時(shí)，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距 ，故正三棱柱的高為2×=，
當(dāng)球外接正三棱柱時(shí)，球心是上下底面中心連線(xiàn)段的中點(diǎn)，且球心與正三棱柱兩個(gè)底面正三角形構(gòu)成兩個(gè)正三棱錐，，
∴R₂=a
∴外接球與內(nèi)切球半徑之比為R₁：R₂=a：=：1．
∴外接球與內(nèi)切球表面積之比為5：1
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查空間想象能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是常考題型，求內(nèi)切球與外接球的半徑是解決本題的關(guān)鍵所在．