Question

定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（3x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)3≤x≤9時，f（x）=1-|x-6|，若函數(shù)的所有極大值點均落在同一條直線上，則c=

1或3

．

Answer 1

分析：由已知可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出極值點坐標(biāo)，根據(jù)三點共線，則任取兩點確定的直線斜率相等，可以構(gòu)造關(guān)于c的方程，解方程可得答案．

解答：解：當(dāng)3^n-1≤x≤3ⁿ（n∈N^*）時，

x

3n-2

∈[3，9]
∵函數(shù)f（x）滿足：①f（3x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)3≤x≤9時，f（x）=1-|x-6|，
∴n≥2時，f（x）=c^n-1×f（

x

3n-2

）=c^n-1×[1-|

x

3n-2

-6|]
由函數(shù)解析式知，當(dāng)

x

3n-2

-6=0時，函數(shù)取得極大值c^n-1，
∴極大值點坐標(biāo)為（6×3^n-2，c^n-1）
∴n≥3時，根據(jù)直線斜率相等即

cn+1-cn

6×3n-6×3n-1

=

cn-cn-1

6×3n-1-6×3n-2

，化簡可得c-1=

c(c-1)

3

解得c=1或3
故答案為：1或3．

點評：本題考查的知識點是三點共線，函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)的極值點坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．