已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx＋c的圖象為曲線E．

(1)若函數(shù)f(x)在x＝－1和x＝3時(shí)取得極值，求a、b的值；

(2)若曲線E上存在點(diǎn)P，使曲線E在P點(diǎn)處的切線與x軸平行，求a、b滿足的關(guān)系式；

(3)在(1)的條件下，當(dāng)x∈[－2，6]時(shí)，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范圍．

答案：
解析：

　　解析：(1)(x)＝3x2－2ax＋b，

　　∵f(x)在x＝－1，3時(shí)存在極值，

　　∴－1、3是方程3x2－2ax＋b＝0的兩實(shí)數(shù)根．

　　∴　∴

　　(2)∵曲線E上存在與x軸平行的切線，

　　∴(x)＝0有實(shí)數(shù)解，即3x2－2ax＋b＝0有實(shí)數(shù)解．

　　∴Δ＝(－2a)2－12b≥0．

　　∴a、b的關(guān)系式為a2≥3b．

　　(3)f(x)＝x3－3x2－9x＋c，

　　當(dāng)x變化時(shí)，(x)，f(x)變化情況如下表

　　x∈[－2，6]時(shí)，f(x)的最大值為c＋54，

　　要使f(x)＜2|c|恒成立，只需c＋54＜2|c|，

　　c≥0時(shí)，c＋54＜2c，

　　∴c＞54；c＜0時(shí)，c＋54＜－2c．

　　∴c＜－18．

　　∴c的范圍是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)作出函數(shù)f(x)的圖像；

(3)根據(jù)圖像指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(4)根據(jù)圖像寫出不等式f(x)>0的解集；

(5)求當(dāng)x∈[1,5)時(shí)函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)與冪函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是關(guān)于x的方程f(x)－g(x)＝0的一個(gè)解，求t的值；
(2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆江西省高二下學(xué)期第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)當(dāng)a＝0時(shí)，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆新課標(biāo)高三配套第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）當(dāng)a＝1時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間[－3，－1]上的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年湖南省、岳陽縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)

已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）設(shè)直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點(diǎn)P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點(diǎn)P、Q處的切線平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)；試問是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí)，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

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