Question

已知函數(shù)g（x）=b²lnx-bx-3（b∈R）的極值點為x=1，函數(shù)h（x）=ax²+bx+4b-1．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，并比較g（x）與g（1）的大小關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

2

時，函數(shù)t（x）=ln（1+x²）-h（x）+x+4-k（k∈R），試判斷函數(shù)t（x）的零點個數(shù)；
（Ⅲ）如果函數(shù)f（x），f₁（x），f₂（x）在公共定義域D上，滿足f₁（x）＜f（x）＜f₂（x），那么就稱f（x）為f₁（x），f₂（x）的“伴隨函數(shù)”，已知函數(shù)f₁（x）=（a-

1

2

）x²+2ax+（1-a²）lnx，f₂（x）=

1

2

x²+2ax，若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）=g（x）+h（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴隨函數(shù)”，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)極值點為1求出b的值，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，確定最值，比較g（x）與g（1）的大小關(guān)系；
（2）先確定極值點處函數(shù)值的符號，然后再確定零點的個數(shù)；
（3）根據(jù)“伴隨函數(shù)”的定義，將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題來處理，然后再構(gòu)造函數(shù)研究其最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）易知函數(shù)g（x）的定義域是（0，+∞），且g′(x)=

b 2

x

-b，
因為函數(shù)g(x)=

b

2

lnx-bx-3(b∈R)的極值點為x=1，
所以g′(1)=

b

2

-b=0，且b≠0，
所以b=1或b=0（舍去），
所以g（x）=lnx-x-3，g′(x)=

1-x

x

(x＞0)，
當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
所以x=1是函數(shù)g（x）的極大值，且最大值為g（1），
所以g（x）的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞），g（x）≤g（1）．
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

2

時，t（x）=ln（1+x²）-h（x）+x+4-k=ln（1+x²）-

1

2

x2+1-k．
所以t′(x)=

2x

1+x2

-x，
令t′（x）=0，得x=-1或x=0或x=1，
當(dāng)x＜-1時，t′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜0時，t′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1時，t′（x）＜0，當(dāng)x＞1時，t′（x）＜0．
所以t(x)極大值=t(±1)=ln2+

1

2

-k，t(x)極小值=t(0)=1-k，
所以當(dāng)k＞ln2+

1

2

時，函數(shù)t（x）沒有零點；
當(dāng)1＜k＜ln2+

1

2

時，函數(shù)t（x）有四個零點；
當(dāng)k=ln2+

1

2

時，函數(shù)t（x）有兩個零點；
當(dāng)k=1時，函數(shù)t（x）有三個零點；
當(dāng)k＜1時，函數(shù)t（x）有兩個零點．
（Ⅲ）f（x）=g（x）+h（x）=a

x

2

+lnx，
在區(qū)間p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx上，函數(shù)p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx是p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx的“伴隨函數(shù)”，
則p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx恒成立，令p（x）=f（x）-f₂（x）=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，
q（x）=f（x）-f₂（x）=-

1

2

x2+2ax-a2lnx，則p（x）＜0，q（x）＜0對于任意的x∈（1，+∞）恒成立．
因為p′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

[(2a-1)x-1](x-1)

x

（*）
①若a＞

1

2

，令p′（x）=0得x1=1，x2=

1

2a-1

，當(dāng)x2＞x1=1，

1

2

＜a＜1時在（x₂，+∞）上有p′（x）＞0，此時p（x）是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上由p（x）∈（p（x₂），+∞），不合題意；當(dāng)x₂≤x₁，即a≥1時，在（1，+∞）上，p（x）∈（p（1），+∞），也不符合題意；
②若a≤

1

2

，則有2a-1≤0，此時在區(qū)間（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，從而p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只需滿足p（1）=-a-

1

2

≤0，所以a≥-

1

2

，所以-

1

2

≤a≤

1

2

．
因為q′(x)=-x+2a-

a2

x

=

-x2+2ax-a2

x

=

-(x-a)2

x

＜0，所以q（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
要使q（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，則q（x）＜q(1)=-

1

2

+2a≤0，所以a≤

1

4

．
綜合①②可知[-

1

2

，

1

4

]的取值范圍是[-

1

2

，

1

4

]．

點評：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及最值中的作用，屬于壓軸題，有一定難度．