Question

過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于不同的兩點(diǎn)A、B，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍，使|AB|≤2p．

Answer 1

分析：設(shè)直線l與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．由題意，直線l的方程為y=x-a，與拋物線方程聯(lián)立可得△＞0、根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可得|AB|，由于0＜|AB|≤2p，解出即可．

解答：解：由題意，直線l的方程為y=x-a，將y=x-a代入y²=2px，得x²-2（a+p）x+a²=0．
設(shè)直線l與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則  

4(a+p)2-4a2＞0 x1+x2=2(a+p) x1x2=a2.

又y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8p(p+2a)

．
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，∴0＜

8p(p+2a)

≤2p．
解得-

p

2

＜a≤-

p

4

． 
故a∈(-

p

2

，-

p

4

]時(shí)，有|AB|≤2p．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．