Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為，對于任意的，函數(shù) 是的導(dǎo)函數(shù)）在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；  

(Ⅲ)求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為

(Ⅱ)    (Ⅲ)先證.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時，．令得；令得，∴的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為 .

（Ⅱ） ∵∴得，

 ，，∴ 

∵在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，且∴  

由題意知：對于任意的，恒成立，

所以，，∴.  故的取值范圍為．

（Ⅲ）證明如下： 由（Ⅰ）可知

當(dāng)時，即，

∴對一切成立．

∵，則有，∴.    

.

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．

點評：本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已知函數(shù)曲線上一點求曲線的切線方程即對函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查，考查求導(dǎo)公式的掌握情況．含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題的處理，構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題．