Question

四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為AC和PB上的點(diǎn)，它的直觀圖，正視圖，側(cè)視圖．如圖所示，

（1）求EF與平面ABCD所成角的大��；
（2）求二面角B-PA-C的大��；
（3）求三棱錐C-BEF的體積．

Answer 1

分析：先由正視圖及側(cè)視圖可得，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4正方形，側(cè)棱PA=4，且PA⊥平面ABCD
（1）由E，F(xiàn)為AC，PB的中點(diǎn)考慮取AB得中點(diǎn)M，則由已知可得MF⊥平面ABCD，則∠FEM即為直線EF與平面ABCD所成的角，在Rt△FEM中求解即可
（2）由已知條件可得，PA⊥AB，PA⊥AC可得∠BAC二面角B-PA-C的平面角
（3）由（1）知點(diǎn)F到平面BEC的距離為MF=2
由題意可得，利用換頂點(diǎn)求解V_C-BEF=V_F-BEC

解答：解：由正視圖及側(cè)視圖的可知，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4正方形，側(cè)棱PA=4，且PA⊥平面ABCD
（1）取AB得中點(diǎn)M，連接ME，MF
則可得MF∥PA，由PA⊥平面ABCD可得MF⊥平面ABCD
∴∠FEM即為直線EF與平面ABCD所成的角
在Rt△FEM中，F(xiàn)M=2，ME=2，∴∠FEM=45°
EF與平面ABCD所成角為45°
（2）由已知條件可得，PA⊥AB，PA⊥AC
∴∠BAC二面角B-PA-C的平面角
∵∠BAC=45°∴二面角B-PA-C的平面角的大小為45°
（3）由（1）知點(diǎn)F到平面BEC的距離為MF=2
由題意可得，V_C-BEF=V_F-BEC=

1

3

S△BEC•FM=

1

3

×

1

2

×4×2×2=

8

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面所成的角及二面角的平面角的求解，其關(guān)鍵是要由三視圖中的數(shù)據(jù)還原直觀圖的數(shù)據(jù)，而換頂點(diǎn)求解錐體的體積及求解點(diǎn)到直線的距離是高考的一個(gè)熱點(diǎn)．