Question

如圖，四邊形MNPQ是⊙C的內(nèi)接梯形，C是圓心，C在MN上，向量與的夾角為120°，•=2．
（1）求⊙C的方程；
（2）求以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P、Q的橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立直角坐標(biāo)系，確定圓心，解三角形并利用2個(gè)向量的數(shù)量積公式求出半徑，從而寫出圓的方程．
（2）根據(jù)橢圓的定義、幾何性質(zhì)，求出a、b、c 的值，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程
解答：解：（1）以MN所在直線為x軸，C為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy．
∵與的夾角為120°，故∠QCM=60°．
于是△QCM為正三角形，∠CQM=60°．
又•=2，即||||cos∠CQM=2，于是r=||=2．
故⊙C的方程為x²+y²=4．

（2）依題意2c=4，2a=|QN|+|QM|，
而|QN|==2，|QM|=2，
于是a=+1，b²=a²-c²=2．
∴所求橢圓的方程為+=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法．