Question

設(shè)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n，且S_n=2a_n-2，令b_n=log₂a_n
（I）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=

bn

an

，求證數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n＜2．
（Ⅲ）對任意m∈N*，將數(shù)列{2b_n}中落入?yún)^(qū)間（a_m，a_2m）內(nèi)的項(xiàng)的個數(shù)記為d_m，求數(shù)列{d_m}的前m項(xiàng)和T_m．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-2，a₁=2，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，所以a_n=2a_n-1，容易試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）cn=

bn

an

=

n

2n

，應(yīng)用錯位相消法求和
（Ⅲ）數(shù)列{2b_n}中落入?yún)^(qū)間（a_m，a_2m）內(nèi)，即a_m＜2b_n＜a_2m，所以2^m＜2n＜2^2m，2^m-1＜n＜2^2m-1，所以數(shù)列{2b_n}中落入?yún)^(qū)間（a_m，a_2m）內(nèi)的項(xiàng)的個數(shù)d_m=2^2m-1-2^m-1-1，分組后，再利用等比數(shù)列求和公式化簡整理．

解答：解：（I）當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-2，a₁=2，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，所以a_n=2a_n-1，數(shù)列{a_n}是以2為為公比的等比數(shù)列，且首項(xiàng)a₁=2，
通項(xiàng)公式為an=2×2^n-1=2ⁿ，
（Ⅱ）cn=

bn

an

=

n

2n

T_n=

1

21

+

2

22

+…

n

2n

，兩邊同乘以

1

2

得

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…

n-1

2n

+

n

2n+1

兩式相減得出

1

2

T_n=

1

21

+

1

22

+…

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

∴T_n＜2
（Ⅲ）數(shù)列{2b_n}中落入?yún)^(qū)間（a_m，a_2m）內(nèi)，即a_m＜2b_n＜a_2m，所以2^m＜2n＜2^2m，2^m-1＜n＜2^2m-1，
所以數(shù)列{2b_n}中落入?yún)^(qū)間（a_m，a_2m）內(nèi)的項(xiàng)的個數(shù)d_m=2^2m-1-2^m-1-1，
所以T_m．=

2(4m-1)

4-1

-

2m-1

2-1

-m=

1

3

×22m+1-2m-m+

1

3

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式，通項(xiàng)公式、數(shù)列求和．考查累加法，公式法、錯位相消法的求和方法．考查計(jì)算能力．