Question

菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°，邊長為4，一橢圓經(jīng)過它的兩個(gè)頂點(diǎn)，并以它的另外兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓的焦點(diǎn)是菱形60°角的兩個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義可知2a=8，由圖及已知條件可得b=BO=BC•sin30°=2，a=OC=2

3

，即可求出橢圓方程．

解答： 解：不妨設(shè)以菱形內(nèi)角為60⁰的一對(duì)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的對(duì)角線所在的直線為x軸，
建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），C'，C為焦點(diǎn)，
由圖及已知條件可得，
b=BO=BC•sin30°=2，c=CO=

16-4

=2

3

，a=

b2+c2

=4，
故所求之橢圓方程為

x2

16

+

y2

4

=1或

y2

16

+

x2

4

=1．
若以B'，B為焦點(diǎn)，則同樣方法求得橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1或

y2

16

+

x2

12

=1．
故答案為：

x2

16

+

y2

4

=1或

y2

16

+

x2

4

=1或

x2

16

+

y2

12

=1或

y2

16

+

x2

12

=1．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程即簡單的幾何性質(zhì)，應(yīng)用了待定系數(shù)法求橢圓方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．