Question

（本小題滿分12分）

如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，．點(diǎn)分別在邊上，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，，．沿將翻折到的位置，使平面⊥平面．

(1)求證：⊥平面；

(2)當(dāng)取得最小值時(shí)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

(i)求四棱錐的體積；

(ii)若點(diǎn)滿足= ()，試探究：直線與平面所成角的大小是否一定大于?并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）∵　菱形的對(duì)角線互相垂直，∴，平面,∴　，∵，∴平面（2）(i)3 (ii) 一定大于，用向量可以求出

【解析】

試題分析：（1）證明：∵　菱形的對(duì)角線互相垂直，

∴，∴，                                               ……1分

∵ ，∴．                          

∵　平面⊥平面，平面平面，且平面，

∴　平面,

∵ 平面，∴　.                                    ……3分

∵ ，∴　平面.                                  ……4分

（2）如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.                    ……5分

（�。┰O(shè) 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032108162728125891/SYS201303210817077343293322_DA.files/image024.png">，所以為等邊三角形，

故，.又設(shè)，則，.

所以，，，

故 ，                                      ……6分

所以，

當(dāng)時(shí)，. 此時(shí)，                      ……7分

由（1）知，平面

所以.             ……8分

（ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由（i）知，，則，，，.

所以，，                            ……9分

∵，　

∴．

∴，

∴．                                               ……10分

設(shè)平面的法向量為，則．

∵，，∴　，

取，解得：， 所以.                            ……11分

設(shè)直線與平面所成的角，

∴

．                                    ……12分

又∵∴．                                              ……13分

∵，∴．

因此直線與平面所成的角大于，即結(jié)論成立．                 ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查線面垂直的證明和用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：用傳統(tǒng)的方法證明立體幾何問(wèn)題時(shí)要緊扣定理，定理中要求的條件缺一不可；用空間向量解決立體幾何問(wèn)題時(shí)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，但是運(yùn)算量比較大，要仔細(xì)運(yùn)算，以防出錯(cuò).