Question

函數(shù)f（x）滿足f（-1）=

1

4

．對于x，y∈R，有4f(

x+y

2

)f(

x-y

2

)=f(x)+f(y)，則f（-2012）等于（　　）

Answer 1

分析：利用賦值法，確定f（0），f（1）的值，確定函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答：解：令y=x，則4f（x）f（0）=2f（x），∴f（0）=

1

2

令y=-x，則4f（0）f（x）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=f（x），∴f（1）=

1

4

．
令

x+y

2

=m，

x-y

2

=n，則4f（m）f（n）=f（m+n）+f（m-n）
令n=-1，則4f（m）f（-1）=f（m-1）+f（m+1），∴f（m+1）=f（m）-f（m-1）
∴f（2）=f（1）-f（0）=

1

4

-

1

2

=-

1

4

，f（3）=f（2）-f（1）=-

1

4

-

1

4

=-

1

2

，f（4）=f（3）-f（2）=-

1

4

f（5）=f（4）-f（3）=

1

4

，f（6）=f（5）-f（4）=

1

2

，f（7）=f（6）-f（5）=

1

4

，
f（8）=f（7）-f（6）=-

1

4

，…
即函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，
∴f（-2012）=f（-336×6+4）=f（4）=-

1

4

故選A．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的周期性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．