Question

（本小題滿分15分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，如果存在曲線上的點(diǎn)，且，使得曲線在點(diǎn)處的切線∥，則稱為弦的伴隨切線。特別地，當(dāng)，時(shí)，又稱為的λ——伴隨切線。

（ⅰ）求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；

（ⅱ）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線 ，并證明你的結(jié)論； 若不存在 ，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，沒有極值；

當(dāng)時(shí)，的極大值為，沒有極小值。（Ⅱ）見解析        

【解析】（Ⅰ）  

當(dāng)，，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，

∴函數(shù)沒有極值。        當(dāng)時(shí)，令，得。

當(dāng)變化時(shí)，與變化情況如下表：

	＋	0	－
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴當(dāng)時(shí)，取得極大值。

綜上，當(dāng)時(shí)，沒有極值；

當(dāng)時(shí)，的極大值為，沒有極小值。          

（Ⅱ）（�。┰O(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，要證明

有伴隨切線，只需證明存在點(diǎn)，使得

，且點(diǎn)不在上。

∵，即證存在，使得，即成立，且點(diǎn)不在上。    …………………8分

以下證明方程在內(nèi)有解�！�

記，則。

令，

∴，

∴在內(nèi)是減函數(shù)，∴。

取，則，即�！�…9分

同理可證�！�。

∴函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)。

即方程在內(nèi)有解。又對(duì)于函數(shù)取，則

可知，即點(diǎn)Q不在上。

是增函數(shù)，∴的零點(diǎn)是唯一的，

即方程在內(nèi)有唯一解。

綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。

（ⅱ）取曲線C：，則曲線的任意一條弦均有伴隨切線。

證明如下：

設(shè)是曲線C上任意兩點(diǎn)，

則，

又，

即曲線C：的任意一條弦均有伴隨切線。  

注：只要考生給出一條滿足條件的曲線，并給出正確證明，均給滿分。若只給曲

線，沒有給出正確的證明，請(qǐng)酌情給分。

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）（�。┰O(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，要證明

有伴隨切線，只需證明存在點(diǎn)，使得

，且點(diǎn)不在上。  ∵，即證存在，使得，

即成立，且點(diǎn)不在上。 ……………  8分

以下證明方程在內(nèi)有解。

設(shè)�！�

則。

記，

∴，

∴在內(nèi)是增函數(shù)，

∴。   同理。。

∴方程在內(nèi)有解。 又對(duì)于函數(shù)，

∵，，

可知，即點(diǎn)Q不在上。

又在內(nèi)是增函數(shù)，

∴方程在內(nèi)有唯一解。

綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。

（ⅱ）同解法一。