Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n²（n≥1，n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂及a₂₀₁₂；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=2a_n，數(shù)列{b_n²}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：S_n≤2一

1

n

．

Answer 1

分析：（1）分別令n=1和2代入所給的式子求出a₁，a₂，再令n=2011和2012列出方程后作差求出a₂₀₁₂；
（2）由

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n2得，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an-1

=(n-1)2（n≥2，n∈N^*），兩式作差再化簡(jiǎn)求出an=

1

2n-1

，再驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立；
（3）由（2）求出b_n和b_n²，驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)是否滿足條件，當(dāng)n≥2時(shí)需要對(duì)b_n放縮后，再利用裂項(xiàng)相消法化簡(jiǎn)
S_n，即得Sn≤2-

1

n

，結(jié)論得證．

解答：解：（1）由題意知

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n2，
令n=1得，a₁=1，
令n=2得，

1

a1

+

1

a2

=22，解得a₂=

1

3

，
令n=2011得，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2011

=20112
令n=2012得，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2012

=20122，
兩式相減得，

1

a2012

=2012²-2011²=4023，
解得a₂₀₁₂=

1

4023

，
（2）由

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n2（n≥1，n∈N^*）得，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an-1

=(n-1)2（n≥2，n∈N^*），
兩式相減得，

1

an

=n²-（n-1）²=2n-1，
則an=

1

2n-1

（n≥2，n∈N^*），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也滿足上式，
故an=

1

2n-1

，
（3）由（2）得，b_n=

2an

1+an

=

2 2n-1

1+ 1 2n-1

=

1

n

，∴b_n²=

1

n2

，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1，則S₁=1，2-

1

n

=1，滿足Sn≤2-

1

n

，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n²=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴Sn=1+

1

22

+…+

1

n2

＜1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=2-

1

n

，
綜上得，對(duì)一切的正整數(shù)n對(duì)Sn≤2-

1

n

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式結(jié)合的綜合題，考查了數(shù)列前n項(xiàng)和與項(xiàng)之間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，放縮法證明不等式等，綜合性強(qiáng)、難度大．