Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx+x²+ax，
（1）若f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-x²+1，當(dāng)a=-1時(shí)，求證：g（x）≤0恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為-a≤$\frac{1}{x}$+2x恒成立，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出a的范圍即可；
（2）求出g（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，證明結(jié)論即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），要使f（x）=lnx+x²+ax在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
則等價(jià)為f′（x）≥0恒成立，
∵f（x）=lnx+x²+ax，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x+a≥0，
即-a≤$\frac{1}{x}$+2x恒成立，
當(dāng)x＞0時(shí)，y=$\frac{1}{x}$+2x≥2$\sqrt{\frac{1}{x}•x}$=2$\sqrt{2}$，
則-a≤2$\sqrt{2}$，即a≥-2$\sqrt{2}$．
（2）a=-1時(shí)，g（x）=f（x）-x²+1=lnx-x，
g（x）的定義域是（0，+∞），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
故g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
故g（x）≤g（1）=0，
故結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．