Question

9．華中師大附中中科教處為了研究高一學(xué)生對物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是否與性別有關(guān)，從高一年級抽取60名同學(xué)（男同學(xué)30名，女同學(xué)30名），給所有同學(xué)物理題和數(shù)學(xué)題各一題，讓每位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如表：（單位：人）

	物理題	數(shù)學(xué)題	總計(jì)
男同學(xué)	16	14	30
女同學(xué)	8	22	20
總計(jì)	24	36	60

（1）在犯錯誤的概率不超過1%的條件下，能否判斷高一學(xué)生對物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與性別有關(guān)？
（2）經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn)，甲每次解答一道物理題所用的時間為5-8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時間為6-8分鐘，現(xiàn)甲、乙解同一道物理題，求甲比乙先解答完的概率；
（3）現(xiàn)從選擇做物理題的8名女生中任意選取兩人，對他們的解答情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附表及公式：

P（K2?k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)求出K²≈4.444＜6.635，從而得到在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，不能判斷高一學(xué)生對物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與性質(zhì)有關(guān)．
（2）設(shè)甲、乙解答一道物理題的時間分別為x，y分鐘，由甲每次解答一道物理題所用的時間為5-8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時間為6-8分鐘，利用幾何概型能求出甲比乙先解答完的概率．
（3）由題意知在選擇物理題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有${C}_{8}^{2}$=28種，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)得K²=$\frac{60×（16×22-14×8）^{2}}{30×30×24×36}$=$\frac{40}{9}$≈4.444＜6.635，
在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，不能判斷高一學(xué)生對物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與性質(zhì)有關(guān)．
（2）設(shè)甲、乙解答一道物理題的時間分別為x，y分鐘，
∵甲每次解答一道物理題所用的時間為5-8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時間為6-8分鐘，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤8}\\{6≤x≤8}\end{array}\right.$，設(shè)事件A表示“甲比乙先解答完”，則A表示“x＜y”，
作出可行域，如右圖：
∴甲比乙先解答完的概率P（A）=$1-\frac{\frac{1}{2}×2×2}{2×3}$=$\frac{2}{3}$．
（3）由題意知在選擇物理題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有${C}_{8}^{2}$=28種，
其中甲、乙兩人沒有一個人被抽到有${C}_{6}^{2}=15$種，恰有一人被抽到有${C}_{2}^{1}{C}_{6}^{1}=12$種，兩人都被抽到有${C}_{2}^{2}=1$種，
∴X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{15}{28}$，P（X=1）=$\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{1}{28}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

∴E（X）=$0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，涉及幾何概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．