Question

設函數(shù)y=4 x-

1

2

-a•2^x+

a2

2

+1（0≤x≤2）的最小值為g（a）
（1）求g（a）的解析式；
（2）求g（a）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）化函數(shù)y為2^x的二次函數(shù)，討論a的取值，求出y的最小值即為g（a）；
（2）由g（a）的解析式，討論a的取值，求出g（a）的值域．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=4 x-

1

2

-a•2^x+

a2

2

+1
=

22x

4

-a•2^x+

a2

2

+1
=

1

2

×（2^x）²-a•2^x+

1

2

a²+1
=

1

2

（2^x-a）²+1，
當0≤x≤2時，
1≤2^x≤4；
∴若a＜1，y的最小值為

1

2

（1-a）²+1；
若1≤a≤4，y的最小值為1；
若a＞4，y的最小值為

1

2

（4-a）²+1；
∴g（a）=

1 2 (1-a)2+1，a＜1 1，   1≤a≤4 1 2 (4-a)2+1，a＞4

．
（2）∵g（a）=

1 2 (1-a)2+1，a＜1 1，   1≤a≤4 1 2 (4-a)2+1，a＞4

，
∴當a＜1時，g（a）=

1

2

（1-a）²+1
=

1

2

a²-a+

3

2

＞g（1）=1；
當1≤a≤4時，g（a）=1；
當a＞4時，g（a）=

1

2

（4-a）²+1
=

1

2

a²-4a+9＞g（4）=1；
∴g（a）的值域是[1，+∞）．

點評：本題考查了求函數(shù)解析式的問題以及求函數(shù)值域的問題，解題的關鍵是對參數(shù)a的取值討論，是易錯題．