Question

已知m∈R，函數(shù)f（x）=x²-m^x，g（x）=lnx．
（1）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，如果函數(shù)f（x）的最大值為f（1），求m的取值范圍；
（2）若對(duì)有意義的任意x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)m在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程f（x）=g（x）分別無(wú)實(shí)根？只有一實(shí)根？有兩個(gè)不同實(shí)根？

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=x²-mx的圖象開(kāi)口向上，函數(shù)在x=1或x=2處取得最大值，則f（1）≥f（2），1-m≥4-2m，得：m≥3．
（2）f（x）＞g（x）等價(jià)于x²-mx＞lnx，其中x＞0，即：由，令，得，
當(dāng)x=1時(shí)t′（x）=0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)t′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)t′（x）＞0，m＜t（x）_min=t（1）=1，∴m＜1．
（3）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=x²-mx-lnx，其中x＞0．觀察得當(dāng)m=1時(shí)，方程f（x）=g（x）即為：x²-x-lnx=0的一個(gè)根為x=1．猜測(cè)當(dāng)m＜1，m=1，m＞1時(shí)方程分別無(wú)根，只有一個(gè)根，有且只有兩個(gè)根．
證明：∵h(yuǎn)′（x）==0，等價(jià)于2x²-mx-1=0此方程有且只有一個(gè)正根為，
且當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)只有一個(gè)極值h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀．
1°當(dāng)m＜1時(shí)，由（2）得f（x）＞g（x）恒成立，方程無(wú)解．
2°當(dāng)m=1時(shí)，x₀=1，h（x）_min=h（1）=0，則h（x）≥h（x）_min=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，h（x）=0，此時(shí)只有一個(gè)根x=1．
3°當(dāng)m＞1時(shí)，，關(guān)于m在（1，+∞）上遞增，∴x₀∈（1，+∞）時(shí)lnx₀＞0，∵m＞1?1＜m²?8＜8m²?m²+8＜9m²?
???x₀＜m．∴h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀=x₀（x₀-m）-lnx₀＜0．證畢
分析：（1）本問(wèn)題求出函數(shù)的最值代入已知最大值為f（1），即可解得參數(shù)m的值，
（2）本題恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)解答，具體方法是由f（x）＞g（x）等價(jià)于x²-mx＞lnx，即，構(gòu)造出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)工具可以求解．
（3）我們對(duì)本題可以這樣處理，想根據(jù)函數(shù)y=x²，y=mx，y=lnx的圖象的增減性，判斷猜測(cè)出參數(shù)m取值時(shí)分別對(duì)應(yīng)方程的根的情況，然后來(lái)證明這個(gè)結(jié)論．證明時(shí)可利用新構(gòu)造的函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值來(lái)判斷根x₀的性質(zhì)以辨別是否存在這個(gè)根．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題，函數(shù)類(lèi)型簡(jiǎn)單，是一個(gè)二次函數(shù)，第一問(wèn)的設(shè)計(jì)很容易，后面兩問(wèn)的綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力有很好的鍛煉價(jià)值，本題第二小題是一個(gè)恒成立的問(wèn)題，求參數(shù)的范圍，一般轉(zhuǎn)化最值問(wèn)題來(lái)求解，本題第三問(wèn)也是構(gòu)造函數(shù)來(lái)解答，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究新構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，結(jié)合最值來(lái)判斷根的存在與否．本題對(duì)運(yùn)算能力有一定的要求，解題時(shí)一定要嚴(yán)謹(jǐn)．考查的思想方法有分類(lèi)討論，構(gòu)造函數(shù)等方法思想．