Question

6．設1＜x＜2，則$\frac{lnx}{x}$，（$\frac{lnx}{x}$）²，$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$的大小關(guān)系是（$\frac{lnx}{x}$）²＜$\frac{lnx}{x}$＜$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$（用“＜”連接）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，f（x）=x-lnx，利用導數(shù)比較得到0＜$\frac{lnx}{x}$＜1，再比較即可．

解答 解：令f（x）=x-lnx（1＜x＜2），則f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
∴函數(shù)y=f（x）（1＜x＜2）為增函數(shù)，
∴f（x）＞f（1）=1＞0，
∴x＞lnx＞0
∴0＜$\frac{lnx}{x}$＜1，
∴（$\frac{lnx}{x}$）²＜$\frac{lnx}{x}$，
∵$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$-$\frac{lnx}{x}$=$\frac{2lnx-xlnx}{{x}^{2}}$=$\frac{（2-x）lnx}{{x}^{2}}$＞0
∴（$\frac{lnx}{x}$）²＜$\frac{lnx}{x}$＜$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$
故答案為：（$\frac{lnx}{x}$）²＜$\frac{lnx}{x}$＜$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$

點評 本題考查了不等式的大小比較，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．