已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,前n項(xiàng)積為Tn
(1)若2Sn=1-an,n∈N+,求an
(2)若2Tn=1-an,an≠0,證明{
1
Tn
}為等差數(shù)列,并求an
(3)在(2)的條件下,令Mn=T1•T2+T2•T3+…+Tn•Tn+1,求證:
1
15
Mn
1
6
分析:(1)利用數(shù)列遞推式,再寫一式,兩式相減,可求數(shù)列通項(xiàng);
(2)由2Tn=1-an,可得
1
Tn
-
1
Tn-1
=2,從而可證{
1
Tn
}為等差數(shù)列,即可求an;
(3)利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和,即可證得結(jié)論.
解答:(1)解:∵2Sn=1-an,∴n≥2時,2Sn-1=1-an-1,
兩式相減可得an=
1
3
an-1,
∵2S1=1-a1,∴a1=
1
3

an=
1
3n
;
(2)證明:∵2Tn=1-an,∴2Tn=1-
Tn
Tn-1
,
1
Tn
-
1
Tn-1
=2
∴{
1
Tn
}為等差數(shù)列;
∵T1=a1=
1
3

1
Tn
=2n+1
∴Tn=
1
2n+1
,an=
2n-1
2n+1
;
(3)證明:∵Tn=
1
2n+1
,∴TnTn+1=
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
1
2n+1
-
1
2n+3

∴Mn=T1•T2+T2•T3+…+Tn•Tn+1=
1
2
[
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+(
1
2n+1
-
1
2n+3
)]=
1
2
(
1
3
-
1
2n+3
)

1
15
Mn
1
6
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明,確定數(shù)列的通項(xiàng),正確運(yùn)用求和方法是關(guān)鍵.
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