Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+4x-3lnx在（t，t+1）不單調(diào)，求t的范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由函數(shù)求f′（x）=-x+4-

3

x

，再由“函數(shù)f（x）在（t，t+1）上不單調(diào)”轉(zhuǎn)化為“f′（x）=-x+4-

3

x

=0在區(qū)間（t，t+1）上有解”進而轉(zhuǎn)化為：g（x）=x²-4x+3=0在（t，t+1）上有解，用二次函數(shù)的性質(zhì)研究．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+4x-3lnx，
∴f′（x）=-x+4-

3

x

，
∵函數(shù)f（x）在（t，t+1）上不單調(diào)，
∴f′（x）=-x+4-

3

x

=0在（t，t+1）上有解
∴

x2-4x+3

x

=0在（t，t+1）上有解
∴g（x）=x²-4x+3=0在（t，t+1）上有解
∴g（t）g（t+1）≤0或

t＜2＜t+1 g(t)≥0 g(t+1)≥0 △=4＞0

，
∴0＜t＜1或2＜t＜3．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路：當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立，當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立，然后轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題．注意判別式的應(yīng)用．