在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，為直角三角形，，且.

（1）證明：平面平面；
（2）若AB=2AE，求異面直線BE與AC所成角的余弦值.
（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD為正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.
（2）作DE的中點(diǎn)F，連接OF，AF，由于O是DB的中點(diǎn)，且OF∥BE，可知∠FOA或其補(bǔ)角是異面直線BE與AC所成的角；設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則，由于，AB=2AE，
可知，，則，又，∴=,由余弦定理的推理∴∠FOA==，故異面直線BE與AC所成的角的余弦值為.
試題解析：（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，                    3分
又ABCD為正方形，所以DB⊥AC，                        4分
所以DB⊥平面AEC，BD面BED
故有平面AEC⊥平面BED.                                 6分
（2）作DE的中點(diǎn)F，連接OF，AF，

∵O是DB的中點(diǎn)，
∴OF∥BE，∴∠FOA或其補(bǔ)角是異面直線BE與AC所成的角。 8分
設(shè)正方形ABCD的邊長為2，
則，     9分
∵，AB=2AE，
∴，，∴                  10分
又，∴=,∴∠FOA==
∴異面直線BE與AC所成的角的余弦值為 12分.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知三棱錐P－ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D為AB中點(diǎn)，M為PB中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PA⊥PC。
.
（1）求證：DM∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（3）求三棱錐M－BCD的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，點(diǎn)E在棱PB上，且PE＝2EB.

(1)求證：平面PAB⊥平面PCB；
(2)求證：PD∥平面EAC.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.

(1)求證：PC⊥BC
(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,CC1的中點(diǎn),則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線(　　)
A．不存在B．有且只有兩條
C．有且只有三條D．有無數(shù)條

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下面結(jié)論中正確的是________(把正確結(jié)論的序號都填上)．
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1與底面ABCD所成角的正切值是.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

下列命題中錯誤的是 (　　)．
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知正方體，點(diǎn)，，分別是線段，和上的動點(diǎn)，觀察直線與，與．給出下列結(jié)論：
①對于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；
②對于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；
③對于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；
④對于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得．

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（   ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知直線，和平面且，給出下列四個(gè)命題：
①②③④
其中真命題的有________(請?zhí)顚懭空_命題的序號)

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